Ոսկե հարաբերակցությունը համամասնություն է, որը հնագույն ժամանակներից համարվում է ամենակատարյալն ու ներդաշնակը: Այն կազմում է բազում հնագույն կառույցների հիմքը ՝ արձանիկներից մինչ տաճարներ, և բնույթով շատ տարածված է: Միևնույն ժամանակ, այս համամասնությունն արտահայտվում է զարմանալիորեն էլեգանտ մաթեմատիկական կոնստրուկցիաներում:
Հրահանգներ
Քայլ 1
Ոսկե համամասնությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ. Դա հատվածի երկու մասի բաժանում է, որ փոքր մասը վերաբերում է մեծին նույն կերպ, ինչպես մեծ մասը վերաբերում է ամբողջ հատվածին:
Քայլ 2
Եթե ամբողջ հատվածի երկարությունը վերցվի 1, իսկ մեծ մասի երկարությունը x, ապա որոնված համամասնությունը կարտահայտվի հավասարման միջոցով.
(1 - x) / x = x / 1:
Բազմապատկելով համամասնության երկու կողմերը x- ով և փոխանցելով տերմինները, մենք ստանում ենք քառակուսային հավասարումը.
x ^ 2 + x - 1 = 0:
Քայլ 3
Հավասարումը երկու իրական արմատ ունի, որոնցից մեզ, բնականաբար, միայն դրականն է հետաքրքրում: Այն հավասար է (√5 - 1) / 2-ին, որը մոտավորապես հավասար է 0, 618-ի: Այս թիվը արտահայտում է ոսկե հարաբերակցությունը: Մաթեմատիկայում այն առավել հաճախ նշվում է φ տառով:
Քայլ 4
Φ թիվը ունի մի շարք ուշագրավ մաթեմատիկական հատկություններ: Օրինակ, նույնիսկ սկզբնական հավասարումից երեւում է, որ 1 / φ = φ + 1. Իրոք, 1 / (0, 618) = 1, 618:
Քայլ 5
Ոսկե հարաբերակցությունը հաշվարկելու մեկ այլ միջոց է անվերջ կոտորակի օգտագործումը: Startանկացած կամայական x- ից սկսած, դուք կարող եք հաջորդականորեն կառուցել կոտորակ.
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
և այլն
Քայլ 6
Հաշվարկները հեշտացնելու համար այս կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես կրկնվող ընթացակարգ, որի ընթացքում հաջորդ քայլը հաշվարկելու համար հարկավոր է մեկը ավելացնել նախորդ քայլի արդյունքին և բաժանել մեկը ստացված թվի վրա: Այլ կերպ ասած:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1):
Այս գործընթացը կոնվերգացվում է, և դրա սահմանը φ + 1 է:
Քայլ 7
Եթե փոխադարձի հաշվարկը փոխարինենք քառակուսի արմատի արդյունահանմամբ, այսինքն, մենք իրականացնում ենք կրկնվող օղակ.
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), ապա արդյունքը կմնա անփոփոխ. անկախ նախնական ընտրված x- ից, կրկնությունները միանում են φ + 1 արժեքին:
Քայլ 8
Երկրաչափորեն, ոսկե հարաբերակցությունը կարելի է կառուցել սովորական հնգանկյունի միջոցով: Եթե դրա մեջ գծենք երկու հատվող անկյունագիծ, ապա նրանցից յուրաքանչյուրը մյուսը կբաժանի խստորեն ոսկե հարաբերությամբ: Այս դիտարկումը, ըստ լեգենդի, պատկանում է Պյութագորասին, որն այնքան ցնցված էր գտնված օրինաչափությունից, որ ճիշտ հնգաթև աստղը (հնգանկյուն) համարեց սուրբ աստվածային խորհրդանիշ:
Քայլ 9
Պատճառները, թե ինչու է դա ոսկե հարաբերակցությունը, որը մարդուն թվում է առավել ներդաշնակ, անհայտ են: Այնուամենայնիվ, փորձերը բազմիցս հաստատել են, որ այն առարկաները, որոնց հանձնարարվել է հատվածը բաժանել երկու անհավասար մասերի, ամենագեղեցիկ կերպով դա անում են ոսկե հարաբերությանը շատ մոտ համամասնություններով:
